# Tapisserie trigonométrique

> Six fonctions trigonométriques imbriquées, chacune tournée par une racine sixième de l’unité, additionnées et peintes sur le plan complexe.

Imbriquer une fonction trigonométrique dans une autre, comme $\sin(\cos z)$, donne une fonction d’une variable complexe à la structure étonnamment riche : des zéros et des pôles alignés en rangées, et des singularités essentielles là où la fonction intérieure a un pôle. En additionnant plusieurs de ces fonctions, on mêle leurs motifs en un seul champ.

Ici $f(z) = \sum_{n=0}^{5} e^{in\pi/3}\, g_n(z)$, où $g_n$ parcourt $\sin(\cos z)$, $\cos(\sin z)$, $\tan(\cot z)$, $\cot(\tan z)$, $\sec(\csc z)$ et $\csc(\sec z)$, et chaque terme est tourné par une racine sixième de l’unité. Chaque pixel $z = x + yi$ est coloré selon $(1 - M)\,z + M f(z)$ : la teinte indique l’argument et la luminosité le module, si bien que les zéros et les pôles apparaissent comme des points où toutes les couleurs se rejoignent. Quand $M$ varie de $0$ à $1$, la simple roue chromatique de l’identité se transforme en la somme complète, qui se répète avec une période $2\pi$ le long de l’axe réel. La suite de minuscules motifs sur l’axe réel vient de $\tan(\cot z)$ et de ses voisines, qui ont une singularité essentielle en chaque multiple de $\pi$.

D'après un graphique Desmos de DragonFire28.

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