# Effet Droste

> Une grille carrée enroulée en spirale, qui contient une copie d'elle-même, tournée et plus petite, sans fin : la transformation conforme de la « Galerie d'estampes » d'Escher. L'image zoome en elle-même.

L'effet Droste est une image qui contient une copie plus petite d'elle-même, qui en contient une plus petite encore, sans fin. Il doit son nom à une boîte de cacao néerlandaise dont l'étiquette montrait une infirmière portant un plateau avec la même boîte. Dans sa lithographie « Galerie d'estampes » (1956), M. C. Escher a courbé une telle image en spirale : un jeune homme regarde l'estampe d'une ville portuaire, et la ville contient la galerie où il se tient. En 2003, les mathématiciens Hendrik Lenstra et Bart de Smit ont montré que la grille d'Escher est une transformation conforme construite avec le logarithme et l'exponentielle complexes : elle change une image droite qui se répète à l'échelle 256 en une image qui se répète à l'échelle 22,6 environ, tournée d'environ 158°.

Ce document applique la même transformation à une grille carrée. On part de l'anneau $4 \le |Z| < 4k$ des lignes $\sin(\operatorname{Re} Z) = 0$ et $\sin(\operatorname{Im} Z) = 0$. Pour chaque point $z = x + iy$ du tracé, le document calcule $Z = 4\exp(a\ln z + T\ln k)$ avec $a = 1 - i\kappa$ et $\kappa = \ln(k)/2\pi$, et prend la partie réelle de l'exposant modulo $\ln k$, pour que $Z$ reste dans l'anneau. Avec $L = \ln|z|$ et $\theta = \arg z$, l'exposant vaut $(L + \kappa\theta) + i(\theta - \kappa L)$ : $U$ est sa partie réelle après le modulo, $W$ sa partie imaginaire, et $P$ et $Q$ sont les parties réelle et imaginaire de $Z$.

C'est la valeur de $a$ qui crée la spirale. Un tour autour du centre ajoute $2\pi i$ à $\ln z$, et $a \cdot 2\pi i = 2\pi i + \ln k$ : un tour complet de $Z$, plus une période du modulo. Un tour autour du centre mène donc à la copie suivante de l'anneau, $k$ fois plus petite ou plus grande. Sur le tracé, l'image se répète à l'échelle $k^{1/(1+\kappa^2)}$, tournée de $\kappa\ln k/(1+\kappa^2)$ : environ $7{,}6$ fois et $43°$ pour $k = 10$. La transformation est conforme : les lignes de la grille se coupent toujours à angle droit. La grille carrée n'est pas la même après un changement d'échelle de $k$, donc le bord de chaque copie forme une couture. Toutes les coutures ensemble forment une seule spirale logarithmique, tracée en gris.

$T$ multiplie $Z$ par $k^T$, et la grille se déplace vers le centre. En $T = 1$, elle s'est déplacée d'exactement une copie : la boucle n'a pas de saut. Modifiez $k$ pour changer l'échelle d'une copie à la suivante.

D'après un graphe Desmos de Fabrice Neyret, lui-même tiré de son shader Shadertoy et d'un article de Jos Leys sur l'effet Droste.

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