# Addition de points sur une courbe elliptique

> La construction par la corde sur la courbe y² = x³ − 2x + 1 : la droite qui passe par deux points recoupe la courbe en un troisième point, dont le symétrique est leur somme.

Une courbe elliptique est l'ensemble des points tels que $y^2 = x^3 + ax + b$. Ses points s'additionnent, et la règle est un dessin. Prenez deux points $P$ et $Q$ de la courbe et tracez la droite qui passe par eux. La droite recoupe la courbe en un autre point, $R$ (quand la droite est tangente à la courbe en $P$, $R$ est le point $P$ lui-même). La somme $P + Q$ est le symétrique de $R$ par rapport à l'axe des $x$.

Le troisième point a une formule. Si la droite a pour pente $m$, reporter son équation dans celle de la courbe donne une équation du troisième degré en $x$ dont la somme des trois racines est $m^2$. Deux des racines sont les abscisses $s$ de $P$ et $k$ de $Q$ ; la troisième est donc $w = m^2 - s - k$. Avec cette addition, et un point supplémentaire à l'infini qui joue le rôle de zéro, les points de la courbe forment un groupe : l'ordre des termes ne compte pas, $(P + Q) + T = P + (Q + T)$, et le symétrique d'un point est son opposé. La cryptographie qui protège la plupart des connexions sur le web utilise ce groupe, sur des courbes dont les coordonnées sont des entiers modulo un grand nombre premier.

Cette courbe, $y^2 = x^3 - 2x + 1$, a deux parties, un ovale et une branche ouverte. $P$ (bleu) se déplace sur l'ovale et $Q$ (bleu) sur la branche ; $R$ est orange et $P + Q$ est rouge. Le document n'a pas de point que l'on puisse faire glisser : les deux curseurs $s$ et $k$ fixent donc les abscisses de $P$ et de $Q$. Leurs intervalles gardent $P$ et $Q$ séparés, et la droite n'est donc jamais verticale. Pour certaines positions, elle est tangente à l'ovale en $P$ ; le point orange recouvre alors $P$, et $P + Q$ est le symétrique de $P$.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.

- [Ouvrir la version interactive](https://graph-paper.io/showcase/fr/elliptic-curve-group-law)
- [En savoir plus sur Wikipédia](https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve)