# Profil de Joukowski

> L'air qui s'écoule autour d'une aile, obtenu en transformant l'écoulement autour d'un cercle par Z = z + 1/z ; l'angle d'incidence est animé.

En 1910, Nikolaï Joukowski a trouvé un moyen simple de calculer l'écoulement de l'air autour d'une aile. L'écoulement d'un fluide parfait autour d'un cercle est connu exactement, et la transformation $Z = z + 1/z$ envoie un cercle passant par le point $z = 1$ sur une courbe en forme d'aile, avec un bord de fuite pointu. Comme la transformation conserve les angles, elle transporte l'écoulement autour du cercle en l'écoulement autour de l'aile.

Dans ce document, le cercle a son centre en $(c_x, c_y)$ et passe par $z = 1$ : son rayon vaut donc $R$. La fonction de courant $\psi$ de l'écoulement autour du cercle combine un vent uniforme sous l'angle d'incidence $a$, son reflet dans le cercle et une circulation $\Gamma$. Pour trouver $\psi$ en un point du plan de l'aile, le document inverse la transformation : $u$, $v$, $m$, $s$ et $w$ calculent la racine carrée complexe de $Z^2 - 4$ en nombres réels, et $k$ garde la racine située hors du cercle. L'ombrage montre $\psi$, et les courbes $\sin(\pi \psi/0{,}25) = 0$ sont les lignes de courant, les chemins que suit l'air.

La circulation est fixée par la condition de Kutta : l'air doit quitter le bord de fuite pointu sans le contourner. Cela impose $\Gamma = 4\pi R\sin(a + \arcsin(c_y/R))$, et la portance de l'aile est proportionnelle à $\Gamma$. Quand $a$ s'anime, observez les lignes de courant se resserrer au-dessus de l'aile, là où l'air va plus vite et où la pression est plus basse. Modifiez $c_x$ pour rendre l'aile plus épaisse ou plus mince, et $c_y$ pour changer sa courbure.

D'après un graphe Desmos de Fabrice Neyret.

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