# Sillage de Kelvin

> Le motif de vagues en V derrière un navire en eau profonde : sa longueur d'onde change avec la vitesse du navire, mais son demi-angle reste de 19,47°.

Un canard, un bateau et un pétrolier laissent le même sillage en V. En 1887, Lord Kelvin a montré pourquoi : en eau profonde, les vagues de longueurs différentes vont à des vitesses différentes, et seules les vagues dont les crêtes suivent le navire restent derrière lui. Une vague qui se propage à l'angle $\theta$ de la route du navire le suit quand sa vitesse vaut $U\cos\theta$, où $U$ est la vitesse du navire. En eau profonde, cela fixe son nombre d'onde à $k_0/\cos^2\theta$ avec $k_0 = g/U^2$.

Ce document additionne ces vagues stationnaires : $\eta(x, y)$ est la somme de 300 d'entre elles, une pour chaque angle $\theta(j)$ entre $-1{,}35$ et $1{,}35$ radian, le poids $w(j)$ atténuant les termes aux extrémités de l'intervalle. Derrière le navire, les vagues se renforcent là où leur phase varie le moins avec l'angle, et s'annulent partout ailleurs. Le résultat montre les deux familles du motif de Kelvin : les vagues transversales courbes, en travers de la route du navire, et les vagues divergentes qui forment les branches du V.

La vitesse du navire $U$ s'anime de $0{,}6$ à $1{,}2$. Les vagues deviennent quatre fois plus longues, car la longueur d'onde vaut $2\pi U^2/g$, mais le sillage reste toujours entre les lignes pointillées $y = \pm x/(2\sqrt{2})$ : un demi-angle de $\arcsin(1/3) \approx 19{,}47°$, quelle que soit la vitesse. (Dans la réalité, les bateaux rapides laissent des sillages plus étroits, car la taille de la coque compte alors ; ce modèle a une source ponctuelle.)

D'après un graphe Desmos de Fabrice Neyret.

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