# Ensemble Multibrot

> Déplacez un curseur pour changer la puissance d de l'ensemble Multibrot, la fractale de l'itération z → z^d + c, de 2 à 8, et voyez sa symétrie changer.

Un ensemble Multibrot utilise l'itération de l'ensemble de Mandelbrot avec une autre puissance : l'application est $z \to z^d + c$, et $c$ est dans l'ensemble quand l'itération ne s'échappe pas à l'infini. Changez $d$ pour aller de l'ensemble de Mandelbrot en $d = 2$ à un ensemble avec plus de parties en $d = 8$. Pour un nombre entier $d$, l'ensemble a une symétrie de rotation d'ordre $d - 1$ : $d = 3$ donne deux parties et $d = 5$ en donne quatre.

La puissance est un nombre réel : la fonction $M$ du prélude du document utilise donc la forme polaire sur les nombres réels. Avec $s = a^2 + b^2$, elle calcule $r = s^{d/2}$ et $w = d\arctan(b, a)$, puis $a \to r\cos(w) + p$ et $b \to r\sin(w) + q$. Entre deux nombres entiers, l'angle $w$ a un saut quand $z$ traverse l'axe réel négatif : l'image a donc des coupures droites qui ne sont pas dans les ensembles de puissance entière.

$M$ donne le nombre d'itérations d'échappement d'un point divisé par 128, et 1 pour un point qui ne s'échappe pas en 128 étapes. Pour que ce nombre soit continu, le test d'échappement est $|z|^2 > 4096$. Cela ne change pas l'ensemble, car un point avec $|z| > 2$ s'échappe toujours pour $d \ge 2$. Le nombre est alors $n + 1 - \ln(\ln(|z|^2) / \ln 4096) / \ln d$. La boucle s'arrête quand le point s'échappe : seul un point qui ne s'échappe pas fait les 128 étapes.

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