# Proies et prédateurs

> Le modèle de Lotka–Volterra dans le plan des deux populations : un champ de directions, l'orbite fermée d'une solution, et un état qu'une action déplace le long de celle-ci.

Une population de proies $x$ croît quand elle est seule, et elle est mangée à un taux proportionnel au nombre de rencontres entre proies et prédateurs. Une population de prédateurs $y$ s'éteint quand elle est seule, et croît avec ces mêmes rencontres. Alfred Lotka (1925) et Vito Volterra (1926) ont écrit ce modèle sous la forme $x' = ax - bxy$ et $y' = dxy - cy$.

L'image est le plan des deux populations, et non un tracé en fonction du temps. En chaque point, la flèche montre vers où vont les populations. Beaucoup de proies nourrissent plus de prédateurs ; beaucoup de prédateurs laissent peu de proies ; peu de proies affament les prédateurs ; peu de prédateurs laissent les proies se rétablir. L'état tourne donc autour de l'équilibre $\left(\frac{c}{d}, \frac{a}{b}\right)$, le point gris à l'intérieur de l'orbite, où les deux populations restent constantes.

Dans ce modèle, l'état revient exactement à son point de départ : la quantité $V(x, y) = dx - c\ln x + by - a\ln y$ ne change pas le long d'une solution, et chaque solution est donc une courbe de niveau fermée de $V$. La courbe bleue est la courbe de niveau qui passe par le départ $(p, q)$. Une action déplace l'état le long de cette courbe par la méthode de Runge–Kutta d'ordre 4, de $h = 0{,}03$ unité de temps toutes les 30 millisecondes. Modifiez les taux $a$, $b$, $c$, $d$ ou le départ $p$, $q$ (tous les six doivent rester positifs), puis lancez la seconde action pour remettre l'état au départ. Près de l'équilibre, un tour prend le temps $\frac{2\pi}{\sqrt{ac}}$ ; une orbite plus grande prend plus de temps.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.

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