# Projectile avec résistance de l'air

> Une balle lancée dans l'air, calculée pas à pas avec une traînée qui croît comme le carré de la vitesse, à côté de la parabole qu'elle suivrait sans air.

Sans air, une balle lancée suit une parabole, et une formule donne sa portée : $\frac{w^2\sin(2b)}{g}$ pour la vitesse de lancement $w$ et l'angle de lancement $b$. Avec de l'air, il n'existe pas de telle formule. La traînée sur une balle croît comme le carré de sa vitesse $s$ et s'oppose à son vecteur vitesse $(u, v)$ ; les accélérations sont donc $u' = -c\,s\,u$ et $v' = -g - c\,s\,v$, et la seule façon de suivre le vol est de le calculer pas à pas. Ce document le fait, en direct.

L'état est la liste $S$ : la position, puis la vitesse. Toutes les 30 millisecondes, une action l'avance de $h = 0{,}03$ seconde par la méthode de Runge–Kutta d'ordre 4, qui prend quatre estimations de la pente et les combine. Le vol se déroule donc en temps réel. Quand la balle touche le sol, l'action la relance et garde le vol terminé sous la forme de la courbe pâle.

La courbe bleue est le vol sans air. Avec les valeurs de ce document (30 m/s à $50°$, et $c = 0{,}01$ par mètre), la balle retombe à 54 mètres au lieu de 90, et la trajectoire n'est pas symétrique : la balle descend plus raide qu'elle n'est montée. Modifiez l'angle $a$ (en degrés), la vitesse $w$ et la traînée $c$ ; le changement prend effet au lancement suivant. Un $c$ plus grand correspond à une balle plus légère, ou plus grosse à masse égale ; avec $c = 0$, la balle suit la parabole. Une balle qui tombe assez longtemps s'approche de la vitesse $\sqrt{g/c}$, environ 31 m/s ici, à laquelle la traînée est égale au poids. Le document garde les 240 derniers pas d'un vol (7,2 secondes), ce qui suffit pour tous les angles à cette vitesse. Sans air, le lancer le plus long est à $45°$ ; avec la traînée, il est à un angle plus faible.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.

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- [En savoir plus sur Wikipédia](https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion)