# Réfraction de l'arc-en-ciel

> Un rayon de lumière blanche dans une goutte d'eau : réfracté à l'entrée, réfléchi une fois, réfracté à la sortie et décomposé en un éventail de couleurs, avec la hauteur d'impact animée.

Un arc-en-ciel se forme quand la lumière du Soleil entre dans les gouttes de pluie, se réfléchit une fois sur le fond de chaque goutte et en ressort vers un observateur qui a le Soleil dans le dos. Ce document suit un rayon horizontal de lumière blanche, à la hauteur $y_0$, dans une goutte sphérique de rayon 1. À la surface, le rayon se réfracte en se rapprochant de la normale, traverse la goutte, se réfléchit sur la face opposée, la traverse de nouveau et se réfracte vers l'extérieur. Comme l'indice de réfraction de l'eau $N(L)$ est un peu plus grand pour le violet que pour le rouge, chaque couleur est déviée d'une quantité différente, et le rayon blanc unique ressort en un éventail de couleurs.

La géométrie est écrite sous forme explicite. L'angle d'incidence vaut $a = \arcsin(y_0)$ et l'angle de réfraction $b(L) = \arcsin(y_0 / N(L))$. Chaque corde à l'intérieur de la goutte fait tourner le point de contact autour du cercle de $2b - \pi$ : le point de réflexion au fond de la goutte se trouve donc à l'angle polaire $u(L) = 2b(L) - a$, et le rayon ressort sous l'angle $2u = 4b - 2a$ par rapport à l'horizontale, vers le bas. Les fonctions $X(L, t)$ et $Y(L, t)$ tracent le chemin complet, corde par corde, pour huit longueurs d'onde du rouge au violet. Les rayons gris en tirets montrent la lumière réfléchie par l'extérieur de la goutte et celle qui ressort après une seule traversée.

Quand la hauteur d'impact $y_0$ s'anime, l'angle de sortie monte jusqu'à un maximum, l'angle de l'arc-en-ciel $D$ (ligne pointillée), puis redescend. Près de ce maximum, des rayons issus d'une large bande de hauteurs d'impact ressortent presque dans la même direction, et cette concentration de lumière forme l'arc brillant, à environ $42°$ du point opposé au Soleil. Le rouge ressort sous le plus grand angle : il est donc à l'extérieur de l'arc. Pour que l'éventail soit bien visible, le document utilise un écart d'indice de réfraction environ deux fois plus grand que celui de l'eau réelle.

D'après un graphique Desmos de Fabrice Neyret.

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