# Spirographe

> Une roue qui roule dans un anneau, avec un stylo qui trace une hypotrochoïde ; la roue est animée, et les rayons de l'anneau et de la roue ainsi que la position du stylo se modifient.

Un spirographe est une roue dentée qui roule à l'intérieur d'un anneau denté, avec un stylo dans l'un de ses trous. Le stylo trace une courbe appelée hypotrochoïde. Ce document fait rouler la roue : l'anneau a pour rayon $R$, la roue pour rayon $w$, et le stylo est à la distance $d$ du centre de la roue.

Quand le centre de la roue a parcouru l'angle $s$ autour de l'anneau, la roue elle-même a tourné en sens inverse de $\frac{R - w}{w}s$, car elle roule sans glisser : l'arc qu'elle a parcouru sur l'anneau est égal à l'arc de roue qui l'a touché. Le stylo est donc en $a(s) = (R - w)\cos s + d\cos\left(\frac{R - w}{w}s\right)$ et $b(s) = (R - w)\sin s - d\sin\left(\frac{R - w}{w}s\right)$. Avec $R = 5$ et $w = 3$, le centre de la roue fait trois tours avant que le stylo revienne à son point de départ, et la courbe a cinq lobes : en général la courbe se referme après $w/\operatorname{pgcd}(R, w)$ tours et a $R/\operatorname{pgcd}(R, w)$ lobes.

$T$ anime la roue sur trois tours de son centre, ce qui est le chemin complet pour ces dimensions ; la courbe pâle est ce chemin, la courbe rouge est la partie déjà tracée, et le segment relie le centre de la roue au stylo. Modifiez $R$, $w$ et $d$ pour changer le motif ($w$ doit rester entre $0$ et $R$ ; d'autres dimensions demandent plus ou moins de tours pour se refermer) : avec $d = w$, le stylo est sur le bord et trace une hypocycloïde, avec des points de rebroussement ; avec $R = 2w$, la courbe est une ellipse, et un diamètre de l'anneau si de plus $d = w$.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.

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