# Problème à trois corps

> Trois masses égales soumises à la gravitation de Newton, avancées en direct par une action : l'orbite en huit, et un triangle équilatéral qui tourne puis se disloque de façon chaotique.

Deux corps soumis à la gravitation décrivent des ellipses, et une formule donne leurs positions à tout instant. Pour trois corps, il n'existe pas de telle formule : sauf dans des cas particuliers, le mouvement est chaotique, et le seul moyen de le suivre est de le calculer pas à pas. C'est ce que fait ce document, en direct.

L'état est formé de quatre listes de trois nombres : les positions $X$, $Y$ et les vitesses $U$, $V$. Les listes $A$ et $B$ contiennent l'accélération de chaque corps, somme des attractions des deux autres, chacune en $1/r^2$ vers l'autre corps. Une action s'exécute toutes les 30 ms et fait un pas de la méthode de Verlet (vitesse) avec le pas de temps $h$ : elle déplace chaque corps en $X_n = X + hU + \frac{h^2}{2}A$, calcule les accélérations $A_n$ aux nouvelles positions, et met à jour les vitesses avec la moyenne des anciennes et des nouvelles accélérations. Cette méthode conserve bien l'énergie : une orbite ne s'enroule ni ne se déroule lentement. L'action ajoute aussi les nouvelles positions aux listes $P_k$, $Q_k$, qui tracent la traînée derrière chaque corps.

La simulation s'ouvre sur l'orbite en huit, trouvée numériquement par Cris Moore en 1993 et dont Alain Chenciner et Richard Montgomery ont prouvé l'existence en 2000 : les trois corps se poursuivent sur une même courbe en forme de huit, à un tiers de période d'intervalle, indéfiniment. La deuxième action place les corps sur un triangle équilatéral qui tourne à la vitesse qui équilibre leur attraction, une solution trouvée par Lagrange en 1772. Pour trois masses égales, cette solution est instable. Un des corps part 0,1 % trop vite : le triangle fait environ un tour et demi, puis se disloque en un mouvement chaotique. Modifiez les listes $X$, $Y$, $U$, $V$ et lancez le pas pour essayer vos propres positions de départ.

D'après un graphe Desmos d'Amy.

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