# Carrés tourbillonnants

> Des carrés emboîtés dans un carré, chacun tourné et réduit du même pas, dont les sommets suivent quatre spirales ; le pas est animé.

Parcourez un carré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et marquez un point sur chaque côté, à la fraction $s$ du côté à partir du sommet où le côté commence, puis reliez les quatre points : on obtient un carré plus petit, légèrement tourné. Recommencez avec le nouveau carré, et ainsi de suite. Ce document trace 30 étapes. Chaque étape découpe quatre triangles aux sommets d'un carré ; le document les colore tour à tour en bleu et en jaune, et les triangles s'alignent le long de quatre bras de spirale.

Chaque étape est le même mouvement. En nombres complexes, avec le centre du carré en $0$, un sommet $c$ d'un carré et le sommet suivant $\imaginaryI c$ donnent le nouveau sommet $(1 - s)c + s\,\imaginaryI c$ ; chaque étape multiplie donc le carré par $(1 - s) + s\,\imaginaryI$ : il est réduit du facteur $m = \sqrt{s^2 + (1 - s)^2}$ et tourné de l'angle $q$ tel que $\tan q = \frac{s}{1 - s}$. Les sommets du carré $n$ sont à la distance $\sqrt{2}\,m^n$ du centre : ils sont donc sur quatre spirales logarithmiques.

$s$ est animé entre $0{,}05$ et $0{,}95$. Pour $s = 0{,}5$, chaque carré relie les milieux des côtés du précédent, tourne de $45°$ et a la moitié de son aire. Les valeurs $s$ et $1 - s$ donnent des images symétriques : le tourbillon change de sens en $s = 0{,}5$. Quand $s$ est petit, les spirales s'approchent des trajectoires de quatre animaux qui partent des sommets d'un carré et marchent chacun vers le suivant : ces trajectoires coupent toute droite passant par le centre sous un angle de $45°$.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.

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