Fonctions noyau

Les fonctions noyau attribuent des poids aux échantillons voisins en statistique non paramétrique — notamment dans l'estimation par noyau de la densité et le lisseur de régression de Nadaraya-Watson. Le choix du noyau contrôle la rapidité avec laquelle le poids décroît avec la distance et le fait que le noyau ait ou non un support compact, deux propriétés qui influent sur le biais, la variance et le coût de calcul. Si le noyau gaussien est le choix par défaut des manuels, le noyau d'Epanechnikov, à support compact, est prouvé optimal au sens de l'erreur quadratique moyenne dans les cadres standard.

Le graphique compare cinq noyaux courants : gaussien, d'Epanechnikov, quartique (biweight), tricube et uniforme. Les quatre noyaux compacts sont tracés sur -1 \le t \le 1, où ils s'annulent à la frontière ; le gaussien est tracé sur le domaine plus large -3.5 à 3.5 car ses queues n'atteignent jamais exactement zéro. Le contraste visuel rend le compromis explicite : les noyaux plus lisses s'effilent gracieusement, le noyau uniforme donne un poids égal sur son support et une falaise nette à la frontière, et le gaussien échange le support compact contre une forme infiniment lisse.