Tambour vibrant

Quand on frappe un tambour, sa peau vibre selon une combinaison de modes propres : des formes qui gardent leur allure et dont seule l'amplitude change quand elles montent et descendent. Pour une membrane circulaire au bord fixe, chaque mode est une fonction de Bessel du rayon multipliée par un cosinus de l'angle : J_m(k r)\cos(m\theta). Le bord reste immobile seulement si k est un zéro de J_m, et chaque mode vibre alors à la fréquence k.

Ce document additionne trois modes : le fondamental (m = 0, k = 2{,}4048), où toute la peau monte et descend ensemble, et les premiers modes avec une et deux lignes nodales à travers le tambour (m = 1, k = 3{,}8317 et m = 2, k = 5{,}1356). Les couleurs montrent le déplacement à chaque instant : le magenta est vers le haut, le bleu vers le bas, et le blanc est au niveau du bord. Un point blanc traverse sa position de repos, il n'est pas immobile ; seul le bord ne bouge jamais. Les amplitudes a_1, a_2, a_3 sont modifiables : mettez-en deux à 0 pour voir un seul mode.

Les fréquences sont dans les rapports 1 : 1{,}593 : 2{,}136, qui ne sont pas des nombres entiers, donc la forme ne se répète jamais. C'est pourquoi un tambour a une hauteur moins nette qu'une corde de guitare, dont les harmoniques sont des multiples exacts du fondamental.

D'après un graphe Desmos de MYoung, qui montre une membrane tendue entre deux anneaux mobiles.