Baderne d'Apollonius
Des cercles empilés sans fin dans un cercle, chacun tangent à trois autres ; le théorème de Descartes donne sa taille, et chaque courbure est un nombre entier.
Partez de trois cercles tangents entre eux à l'intérieur d'un quatrième cercle plus grand. Chacun des quatre triangles curvilignes qui les séparent contient exactement un cercle de plus, tangent à ses trois côtés ; chacun de ceux-ci crée trois nouveaux triangles, et ainsi de suite sans fin. Le résultat est une baderne d'Apollonius, du nom d'Apollonius de Perga, qui étudia vers 200 av. J.-C. les cercles tangents à trois cercles donnés.
La taille de chaque nouveau cercle vient du théorème de Descartes de 1643, que Frederick Soddy a reformulé en 1936 dans le poème « The Kiss Precise ». Quand quatre cercles sont tangents deux à deux, leurs courbures (l'inverse du rayon, négative pour le cercle extérieur, qui touche les autres de l'intérieur) vérifient (k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2) . Trois d'entre elles étant connues, la quatrième vaut k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2\sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1} , et la même relation, appliquée à chaque courbure multipliée par le centre écrit comme nombre complexe, donne sa position. Cette baderne part des courbures -1 , 2 , 2 et 3 , et toutes les courbures sont alors des nombres entiers : 6, 11, 14, 15, 18, 23, etc. Le document contient les 224 cercles de rayon au moins 0,008, calculés par cette formule et colorés selon leur génération.
La baderne est une fractale. Les cercles ne remplissent jamais le disque, et ce qui reste a une dimension d'environ 1,3057, entre une courbe et une surface. Le document garde les cercles de chaque génération sur une ligne à part, ce qui permet de masquer ou de recolorer une génération seule.
D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.
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