Surface de Boy

La surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans l'espace à trois dimensions : une surface fermée, non orientable, sans bord, dont les seules singularités sont des auto-intersections. Elle fut découverte en 1901 par Werner Boy, un doctorant de David Hilbert, qui lui avait demandé de prouver qu'aucune immersion de ce type ne pouvait exister ; Boy en trouva une à la place. Contrairement à la surface romaine et au bonnet croisé, deux autres modèles du plan projectif dans l'espace, la surface de Boy ne comporte aucun point de pincement : elle se traverse elle-même le long d'une courbe de points doubles, et cette courbe passe par un unique point triple, ce qui lui confère sa forme à trois lobes et sa symétrie d'ordre trois.

Le rendu utilise le paramétrage x = (\sqrt{2}\cos(2u)\cos^2 v + \cos u\sin(2v))/D, y = (\sqrt{2}\sin(2u)\cos^2 v - \sin u\sin(2v))/D, z = 3\cos^2 v/D, partageant le dénominateur D = 2 - \sqrt{2}\sin(3u)\sin(2v), avec u \in [-\pi/2, \pi/2] et v \in [0, \pi]. Comme |\sqrt{2}\sin(3u)\sin(2v)| \le \sqrt{2} < 2, D ne s'annule jamais, et la formule est lisse et bornée partout. Les trois lobes se replient l'un sur l'autre et se rejoignent au point triple central.

L'auto-intersection de la surface de Boy a une structure simple. Il y a exactement un point triple, où trois nappes de la surface se croisent. La courbe double, l'ensemble des points où deux nappes se croisent, est formée de trois boucles qui partent du point triple et y reviennent : six arcs de la courbe double se rejoignent donc au point triple. La surface n'a pas d'autre point singulier, et on peut la découper en trois morceaux congruents. La surface de Boy est l'une des deux seules immersions du plan projectif qui n'ont qu'un point triple. L'autre, appelée surface de Girl, a le même ensemble de lignes d'intersection mais moins de symétrie.

La symétrie d'ordre trois se lit sur la formule : remplacer u par u + 2\pi/3 ne change ni z ni D, et fait tourner le point (x, y) de 4\pi/3 autour de l'axe des z. La surface est donc invariante par une rotation d'un tiers de tour autour de cet axe.

Faites tourner la surface pour la regarder le long de l'axe des z : les trois lobes apparaissent autour de l'axe. En l'inclinant, le matériau de verre laisse voir la courbe double à l'intérieur, là où les nappes se traversent.