Buddhabrot

Le Buddhabrot utilise l'itération de l'ensemble de Mandelbrot, z \to z^2 + c, d'une autre façon. Il prend de nombreuses valeurs de c et ne garde que celles qui s'échappent. Il marque ensuite chaque point du chemin de z, et compte combien de chemins traversent chaque case d'une grille. Les lignes claires sont les endroits que les chemins visitent le plus souvent. L'image est tournée d'un quart de tour, l'axe réel à la verticale : la forme ressemble à un personnage assis, d'où le nom de la fractale.

Ce document compte les chemins trois fois, selon la vitesse à laquelle ils s'échappent : le rouge compte les chemins qui s'échappent en au plus 5000 itérations, le vert ceux qui s'échappent en au plus 500, et le bleu ceux qui s'échappent en au plus 50. Les chemins lents de la figure apparaissent donc en rouge et en jaune, et les chemins rapides autour d'elle font un halo bleu. Cette version en couleurs s'appelle souvent le Nebulabrot.

Le document garde les trois grilles dans une seule liste H_1 : la case de la colonne i et de la ligne j est H_1[1 + i + 150j] dans la première grille, H_1[30001 + i + 150j] dans la deuxième et H_1[60001 + i + 150j] dans la troisième, et le dernier élément contient le nombre de points. Le prélude du document calcule la liste à l'ouverture du document : H_1 = \operatorname{step}(H_0, 1200000) compte les 1,2 million de premiers points, en une demi-seconde environ sur un ordinateur récent. La fonction \operatorname{step} prend ses valeurs de c dans une suite fixe : elle n'utilise donc pas de nombres aléatoires, et un même document donne toujours la même image. Elle itère chaque c au plus 5000 fois pour voir s'il s'échappe, puis l'itère de nouveau pour compter son chemin. L'ensemble de Mandelbrot n'apparaît pas directement : une valeur de c dans l'ensemble ne s'échappe jamais, et n'ajoute donc rien.

Trois raccourcis rendent l'étape plus rapide. Une valeur de c dans la cardioïde principale ou dans le disque de rayon \frac14 autour de -1 est dans l'ensemble, et deux tests exacts la reconnaissent avant toute itération : l'étape la saute. Un chemin qui revient à un point déjà visité se répète et ne s'échappe jamais : l'étape l'arrête. La figure est symétrique par rapport à l'axe réel, car le chemin du conjugué \bar c est l'image miroir du chemin de c : chaque point d'un chemin compte donc aussi dans la case miroir.

Les formules divisent chaque case par le nombre de points, les couleurs ne dépendent donc pas de ce nombre : le rapport tend vers une limite fixe, et des points de plus ne font que réduire le bruit. Sur cette grille, 1,2 million de points suffisent. Pour en ajouter, changez le nombre dans le prélude.