Ensemble Multibrot

Un ensemble Multibrot utilise l'itération de l'ensemble de Mandelbrot avec une autre puissance : l'application est z \to z^d + c, et c est dans l'ensemble quand l'itération ne s'échappe pas à l'infini. Changez d pour aller de l'ensemble de Mandelbrot en d = 2 à un ensemble avec plus de parties en d = 8. Pour un nombre entier d, l'ensemble a une symétrie de rotation d'ordre d - 1 : d = 3 donne deux parties et d = 5 en donne quatre.

La puissance est un nombre réel : la fonction M du prélude du document utilise donc la forme polaire sur les nombres réels. Avec s = a^2 + b^2, elle calcule r = s^{d/2} et w = d\arctan(b, a), puis a \to r\cos(w) + p et b \to r\sin(w) + q. Entre deux nombres entiers, l'angle w a un saut quand z traverse l'axe réel négatif : l'image a donc des coupures droites qui ne sont pas dans les ensembles de puissance entière.

M donne le nombre d'itérations d'échappement d'un point divisé par 128, et 1 pour un point qui ne s'échappe pas en 128 étapes. Pour que ce nombre soit continu, le test d'échappement est |z|^2 > 4096. Cela ne change pas l'ensemble, car un point avec |z| > 2 s'échappe toujours pour d \ge 2. Le nombre est alors n + 1 - \ln(\ln(|z|^2) / \ln 4096) / \ln d. La boucle s'arrête quand le point s'échappe : seul un point qui ne s'échappe pas fait les 128 étapes.