Couleurs de Mandelbrot

L'image de l'ensemble de Mandelbrot vient d'un seul nombre par pixel : la vitesse à laquelle l'itération z \to z^2 + c s'échappe. Les couleurs sont un choix séparé, et ce document montre sept formules pour la même équation. Changez m pour les comparer. Chacune est une formule que vous pouvez modifier.

Dans la formule de couleur, z est la valeur de la ligne, le nombre lissé d'itérations divisé par 256. Il vaut 1 dans l'ensemble. Dans cette vue, 90 % des pixels hors de l'ensemble ont une valeur inférieure à 0{,}033 : une palette linéaire les montre donc dans une petite partie de son étendue. La fonction L(v) = \ln(1 + 256v)/\ln 257 répartit ces valeurs sur [0, 1] selon une échelle logarithmique. Les formules écrivent \max(v, 0) pour v afin que le GPU puisse les dessiner : il ne prend pas le logarithme d'une valeur qui pourrait être négative.

m = 1, palette cosinus : chaque canal vaut 0{,}5 + 0{,}5\cos(2\pi(\log_2(1 + 256z)/2 + d)), avec une phase d différente. Les couleurs se répètent chaque fois que le nombre d'itérations est multiplié par 4.

m = 2, polynômes de Bernstein : les canaux sont 9(1-L)L^3, 15(1-L)^2L^2 et 8{,}5(1-L)^3L, ce qui donne un bleu foncé loin de l'ensemble et de l'orange près de lui.

m = 3, lueur : une seule teinte en OKLCH, avec la luminosité 0{,}12 + 0{,}88L^2, pour que les filaments soient clairs sur un fond sombre.

m = 4, bandes : la luminosité a une période d'une itération, ce qui dessine les courbes où la valeur est constante.

m = 5, onde triangulaire : une onde avec une courbe de puissance passe du rouge foncé à l'ambre.

m = 6, parité : un point est noir ou blanc selon que la partie entière du nombre d'itérations est paire ou impaire, et l'intérieur est rouge.

m = 7, anatomie : l'intérieur est coloré avec les tests exacts de deux parties de l'ensemble. Avec q = (x - 1/4)^2 + y^2, un point est dans la cardioïde principale si q(q + x - 1/4) \le y^2/4, et dans le disque de période 2 si (x + 1)^2 + y^2 \le 1/16. Les petits disques restent sombres, car ces tests ne les contiennent pas.

Ces formules n'utilisent que la valeur d'échappement. D'autres méthodes, comme l'estimation de distance et les moyennes de bandes, utilisent toute l'orbite de chaque point : elles demandent donc plus que ce seul nombre.