Ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des nombres complexes c pour lesquels l'itération z \to z^2 + c, partant de zéro, ne s'échappe jamais vers l'infini. Imagé pour la première fois par Robert Brooks et Peter Matelski en 1978, puis exploré et popularisé par Benoît Mandelbrot en 1980, cet ensemble est devenu l'une des images les plus reconnues des mathématiques et un exemple emblématique de géométrie fractale. Il se situe dans le plan complexe et sert de catalogue, dans l'espace des paramètres, des ensembles de Julia quadratiques : une valeur de c appartient à l'ensemble de Mandelbrot exactement lorsque l'ensemble de Julia correspondant est connexe.

Le rendu échantillonne c sur le rectangle -2.5 \le x \le 1 et -1.5 \le y \le 1.5, avec jusqu'à 256 itérations par pixel et une palette spectrale éclatante qui gradue les points extérieurs selon la rapidité de leur échappement. Le corps central dense et ses bulbes attenants sont les points dont les orbites restent bornées jusqu'à la limite d'itérations. La caractéristique visuelle frappante est la frontière : à chaque niveau de zoom apparaissent de nouveaux filaments, des mini-Mandelbrot et une structure auto-similaire, signature de la complexité infinie de l'ensemble et de sa dimension de Hausdorff fractionnaire.