Bonnet croisé

Le bonnet croisé est le plus simple des modèles classiques du plan projectif réel en trois dimensions. En topologie des surfaces, ajouter un bonnet croisé à une surface revient à en former la somme connexe avec un plan projectif — fermer un trou par un ruban de Möbius plutôt que par un disque. Réalisé comme surface fermée dans l'espace, il doit se traverser lui-même : il possède un unique segment de points doubles se terminant en deux points de pincement, soit à peu près la structure d'auto-intersection la plus simple possible. Comme la surface romaine, et contrairement à la surface de Boy, ce n'est donc pas une immersion lisse.

Ce rendu utilise le paramétrage x = (1 + \cos v)\cos u, y = (1 + \cos v)\sin u, z = -\tanh(\frac{2}{3}(u - \pi))\sin v sur u, v \in [0, 2\pi], qui referme le bonnet croisé en une surface équivalente au plan projectif. Le facteur \tanh engendre le pli où la surface se traverse ; le matériau de verre révèle cette arête d'auto-intersection interne et les deux points de pincement à ses extrémités.