Tube noué

La courbe f(s) = (\sin 2s + 2\sin 3s,\ \cos 2s - 2\cos 3s,\ -\sin 5s) est le nœud torique (3, 5) : sa distance à l'axe vertical vaut \sqrt{5 - 4\cos 5s} et sa hauteur vaut -\sin 5s, elle reste donc sur une surface en forme de tore, qu'elle parcourt 3 fois autour de l'axe et 5 fois autour du tube. Elle compte 10 croisements et possède une symétrie d'ordre cinq. La même formule avec les fréquences 1, 2 et 3 donne le nœud de trèfle.

Pour donner de l'épaisseur à la courbe, le tube suit son repère de Frenet. Les dérivées f' et f'' sont écrites sous forme explicite, la binormale a la direction de f' \times f'' et la normale est le produit vectoriel de la binormale et de la tangente. Un cercle de rayon c = 0.3, dans le plan de la normale et de la binormale, balaie ensuite le nœud : g(s, w) = f(s) + c(\cos w\, N(s) + \sin w\, B(s)). Sur cette courbe, f' et f'' ne sont jamais colinéaires : le repère ne se retourne jamais et le tube reste lisse. Le nœud est découpé en cinq surfaces paramétrées, une par cinquième de sa longueur, chacune de sa propre couleur.

D'après un graphique Desmos de u/dohduhdah.