Solides de Platon

Un solide de Platon est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont le même polygone régulier, avec le même nombre de faces à chaque sommet. Il en existe exactement cinq : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Euclide a démontré dans le dernier livre des Éléments qu'il n'y en a pas d'autre : les angles des faces qui se rencontrent en un sommet doivent avoir une somme inférieure à 360^\circ, et seules cinq combinaisons de triangles équilatéraux, de carrés et de pentagones réguliers le permettent. Platon associait quatre d'entre eux aux éléments classiques, et Kepler a tenté de loger les orbites des planètes entre eux.

Chaque solide est ici un maillage : une liste de sommets et une table de faces triangulaires. Les faces carrées du cube et les faces pentagonales du dodécaèdre sont chacune découpées en triangles, et les tubes sombres ne tracent que les vraies arêtes, les paires de sommets séparés par la longueur d'arête. Les coordonnées viennent du nombre d'or \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} : les douze sommets de l'icosaèdre sont les coins de trois rectangles d'or placés dans les trois plans de coordonnées. Les cinq solides sont mis à l'échelle pour tenir dans des sphères de même rayon et reposent sur une face. En faisant le tour du pentagone depuis l'avant gauche, les nombres de faces sont 4, 6, 8, 12 et 20. Le cube et l'octaèdre sont duaux, tout comme le dodécaèdre et l'icosaèdre : les centres des faces de l'un sont les sommets de l'autre. Le tétraèdre est son propre dual.

D'après un graphique Desmos de Brandon Roller.