Spirographe

Un spirographe est une roue dentée qui roule à l'intérieur d'un anneau denté, avec un stylo dans l'un de ses trous. Le stylo trace une courbe appelée hypotrochoïde. Ce document fait rouler la roue : l'anneau a pour rayon R, la roue pour rayon w, et le stylo est à la distance d du centre de la roue.

Quand le centre de la roue a parcouru l'angle s autour de l'anneau, la roue elle-même a tourné en sens inverse de \frac{R - w}{w}s, car elle roule sans glisser : l'arc qu'elle a parcouru sur l'anneau est égal à l'arc de roue qui l'a touché. Le stylo est donc en a(s) = (R - w)\cos s + d\cos\left(\frac{R - w}{w}s\right) et b(s) = (R - w)\sin s - d\sin\left(\frac{R - w}{w}s\right). Avec R = 5 et w = 3, le centre de la roue fait trois tours avant que le stylo revienne à son point de départ, et la courbe a cinq lobes : en général la courbe se referme après w/\operatorname{pgcd}(R, w) tours et a R/\operatorname{pgcd}(R, w) lobes.

T anime la roue sur trois tours de son centre, ce qui est le chemin complet pour ces dimensions ; la courbe pâle est ce chemin, la courbe rouge est la partie déjà tracée, et le segment relie le centre de la roue au stylo. Modifiez R, w et d pour changer le motif (w doit rester entre 0 et R ; d'autres dimensions demandent plus ou moins de tours pour se refermer) : avec d = w, le stylo est sur le bord et trace une hypocycloïde, avec des points de rebroussement ; avec R = 2w, la courbe est une ellipse, et un diamètre de l'anneau si de plus d = w.

D'après un exemple JSXGraph de The Center of Mobile Learning with Digital Technology.